1. Tout nombre non-nul est un diviseur de $0$.

   Donc $0$ n'est pas un nombre premier.

2. Le nombre $1$ n'a qu'un seul diviseur : lui-même.

   Donc $1$ n'est pas un nombre premier.

3. Le nombre $77$ admet les diviseurs $1$, $7$, $11$ et $77$.

   Donc $77$ n'est pas un nombre premier.

4. Le nombre $111$ est divisible par $3$ car la somme de ses chiffres est un multiple de $3$.

   $111$ est donc divisible par au moins trois diviseurs : $1$, $3$ et $111$.

   Donc $111$ n'est pas un nombre premier.

5. Soit $n$ un nombre pair plus grand que $2$.

   Alors $n$ est divisible par au moins trois diviseurs : $1$, $2$ et $n$.

   Donc $n$ n'est pas un nombre premier.

6. Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers.

   Alors $pq$ est divisible par au moins trois diviseurs : $1$, $p$ et $pq$.

   Donc $pq$ n'est pas un nombre premier.

Il suffit de trouver un contre-exemple.

On a $6n+1=7$ pour $n=1$.

On a $6n+1=13$ pour $n=2$.

On a $6n+1=19$ pour $n=3$.

On a $6n+1=25$ pour $n=4$.

$25$ n'est pas un nombre premier car il est divisible par au moins trois diviseurs : $1$, $5$ et $25$.

Donc la proposition est fausse.

1. $51 = 3 \times 17$
2. $58 = 2 \times 29$
3. $65 = 5 \times 13$
4. $87 = 3 \times 29$
5. $95 = 5 \times 19$

1. $18 = 2 \times 3^2$
2. $28 = 2^2 \times 7$
3. $45 = 3^2 \times 5$
4. $75 = 3 \times 5^2$
5. $98 = 2 \times 7^2$

1. $165 = 3 \times 5 \times 11$
2. $231 = 3 \times 7 \times 11$
3. $275 = 5^2 \times 11$
4. $154 = 2 \times 7 \times 11$

1. $40 = 2^3 \times 5$
2. $60 = 2^2 \times 3 \times 5$
3. $100 = 2^2 \times 5^2$
4. $140 = 2^2 \times 5 \times 7$
5. $580 = 2^2 \times 5 \times 29$

1. $24 = 2^3 \times 3$
2. $36 = 2^2 \times 3^2$
3. $54 = 2 \times 3^3$
4. $56 = 2^3 \times 7$
5. $81 = 3^4$

1. $32 = 2^5$
2. $48 = 2^4 \times 3$
3. $72 = 2^3 \times 3^2$
4. $108 = 2^2 \times 3^3$
5. $162 = 2 \times 3^4$

1. Liste des diviseurs de $6$ : $1$, $2$, $3$, $6$
2. Liste des diviseurs de $8$ : $1$, $2$, $4$, $8$
3. Liste des diviseurs de $10$ : $1$, $2$, $5$, $10$
4. Liste des diviseurs de $15$ : $1$, $3$, $5$, $15$

1. Liste des diviseurs de $4$ : $1$, $2$, $4$
2. Liste des diviseurs de $9$ : $1$, $3$, $9$
3. Liste des diviseurs de $25$ : $1$, $5$, $25$
4. Liste des diviseurs de $49$ : $1$, $7$, $49$

1. Liste des diviseurs de $12$ : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$
2. Liste des diviseurs de $18$ : $1$, $2$, $3$, $6$, $9$, $18$
3. Liste des diviseurs de $20$ : $1$, $2$, $4$, $5$, $10$, $20$
4. Liste des diviseurs de $45$ : $1$, $3$, $5$, $9$, $15$, $45$

1. Les diviseurs de $12$ sont $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ et $12$ et les diviseurs de $18$ sont $1$, $2$, $3$, $6$, $9$ et $18$.

   Le plus grand diviseur commun de $12$ et $18$ est $6$.

2. Les diviseurs de $20$ sont $1$, $2$, $4$, $5$, $10$ et $20$ et les diviseurs de $30$ sont $1$, $2$, $3$, $5$, $6$, $10$, $15$ et $30$.

   Le plus grand diviseur commun de $20$ et $30$ est $10$.

3. Les diviseurs de $24$ sont $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$ et $24$ et les diviseurs de $36$ sont $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $9$, $12$, $18$ et $36$.

   Le plus grand diviseur commun de $24$ et $36$ est $12$.

4. Les diviseurs de $45$ sont $1$, $3$, $5$, $9$, $15$, $45$ et les diviseurs de $75$ sont $1$, $3$, $5$, $15$, $25$, $75$.

   Le plus grand diviseur commun de $45$ et $75$ est $15$.

1. Il suffit de regarder les exposants des nombres premiers communs aux deux nombres :

   Le plus grand diviseur commun de $2^3\times3^2\times5$ et $2^2\times3^3\times7$ est $2^2\times3^2$.

2. Il suffit de regarder les exposants des nombres premiers communs aux deux nombres :

   Le plus grand diviseur commun de $3^4\times5^2\times7$ et $2^3\times3^3\times5$ est $3^3\times5$.

1. Regardons un par un les multiples du plus grand des deux nombres :

   $18$ n'est pas un multiple de $12$.

   $36$ est un multiple de $12$.

   Donc le plus petit multiple commun non nul de $12$ et $18$ est $36$.

2. Regardons un par un les multiples du plus grand des deux nombres :

   $30$ n'est pas un multiple de $20$.

   $60$ est un multiple de $20$.

   Donc le plus petit multiple commun non nul de $20$ et $30$ est $60$.

3. Regardons un par un les multiples du plus grand des deux nombres :

   $36$ n'est pas un multiple de $24$.

   $72$ est un multiple de $24$.

   Donc le plus petit multiple commun non nul de $24$ et $36$ est $72$.

4. Regardons un par un les multiples du plus grand des deux nombres :

   $75$ n'est pas un multiple de $45$.

   $90$ est un multiple de $45$.

   Donc le plus petit multiple commun non nul de $45$ et $75$ est $90$.

1. Regardons un par un les multiples du plus grand des deux nombres :

   $10$ n'est pas un multiple de $8$.

   $20$ n'est pas un multiple de $8$.

   $30$ n'est pas un multiple de $8$.

   $40$ est un multiple de $8$.

   Donc le plus petit multiple commun non nul de $8$ et $10$ est $40$.

2. Regardons un par un les multiples du plus grand des deux nombres :

   $15$ n'est pas un multiple de $12$.

   $30$ est un multiple de $12$.

   Donc le plus petit multiple commun non nul de $12$ et $15$ est $30$.

3. Regardons un par un les multiples du plus grand des deux nombres :

   $20$ n'est pas un multiple de $18$.

   $40$ est un multiple de $18$.

   Donc le plus petit multiple commun non nul de $18$ et $20$ est $40$.

4. Regardons un par un les multiples du plus grand des deux nombres :

   $30$ n'est pas un multiple de $24$.

   $60$ est un multiple de $24$.

   Donc le plus petit multiple commun non nul de $24$ et $30$ est $60$.

1. $$45=3^2\times5$$ et $$154=2\times7\times11$$

   Les nombres $45$ et $154$ n'ont pas de diviseur commun. Donc la fraction $\frac{45}{154}$ est irréductible.

2. $$75=3\times5^2$$ et $$98=2\times7^2$$

   Les nombres $75$ et $98$ n'ont pas de diviseur commun. Donc la fraction $\frac{75}{98}$ est irréductible.

3. $$40=2^3\times5$$ et $$81=3^4$$

   Les nombres $40$ et $81$ n'ont pas de diviseur commun. Donc la fraction $\frac{40}{81}$ est irréductible.

4. $$87=3\times29$$ et $$140=2^2\times5\times7$$

   Les nombres $87$ et $140$ n'ont pas de diviseur commun. Donc la fraction $\frac{87}{140}$ est irréductible.

• Multiplication :$$ \begin{align*} A &= \frac{49}{51}\times\frac{45}{14}\\ A &= \frac{7^2}{3\times17}\times\frac{3^2\times5}{2\times7}\\ A &= \frac{7^2\times3^2\times5}{2\times3\times7\times17}\\ A &= \frac{5\times7}{2\times17}\\ A &= \frac{35}{34} \end{align*} $$
• Division :$$ \begin{align*} B &= \frac{57}{125}\div\frac{27}{50}\\ B &= \frac{57}{125}\times\frac{50}{27}\\ B &= \frac{3\times 19}{5^3}\times\frac{2\times 5^2}{3^3}\\ B &= \frac{3\times 19\times2\times 5^2}{5^3\times 3^3}\\ B &= \frac{3\times 19\times2}{3^2\times5}\\ B &= \frac{2\times 19}{3\times5}\\ B &= \frac{38}{15} \end{align*} $$
• Addition : $$ \begin{align*} C &= \frac{51}{49}+\frac{9}{14}\\ C &= \frac{51}{7^2}+\frac{9}{2\times 7}\\ C &= \frac{51\times 2}{2\times 7^2}+\frac{9\times 7}{2\times 7^2}\\ C &= \frac{102+63}{2\times 7^2}\\ C &= \frac{165}{2\times 7^2}\\ C &= \frac{3\times 5\times 11}{2\times 7^2}\\ C &= \frac{165}{98} \end{align*} $$
• Soustraction :$$ \begin{align*} D &= \frac{23}{25}-\frac{11}{15}\\ D &= \frac{23}{5^2}-\frac{11}{3\times 5}\\ D &= \frac{23\times 3}{3\times 5^2}-\frac{11\times 5}{3\times 5^2}\\ D &= \frac{69-55}{3\times 5^2}\\ D &= \frac{14}{3\times 5^2}\\ D &= \frac{2\times 7}{3\times 5^2}\\ D &= \frac{14}{75} \end{align*} $$