Manipuler les vecteurs
Seconde Générale et Technologique
E-03

Vecteurs et coordonnées

Coordonnées de vecteur

Une base de vecteurs est un couple $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ de vecteurs non nuls n'ayant pas la même direction.
Deux vecteurs non nuls n'ayant pas la même direction sont aussi appelés vecteurs non colinéaires.
Soit $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ une base de vecteurs et $\overrightarrow{u}$ un vecteur tel que : $$\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$$ où $x$ et $y$ sont des réels.
Ce couple $(x,y)$ est appelé les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}$ dans la base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. On note : $$\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$
Considérons la base de vecteurs $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ suivante :
$\vec{\imath}$ $\vec{\jmath}$
Tracez sur votre cahier les vecteurs suivants dans la base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ :
  1. $\overrightarrow{u}_1\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$
  2. $\overrightarrow{u}_2\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}$
  3. $\overrightarrow{u}_3\begin{pmatrix}-5\\7\end{pmatrix}$
  4. $\overrightarrow{u}_4\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}$
\overrightarrow{u}_1 \overrightarrow{u}_2 \overrightarrow{u}_3 \overrightarrow{u}_4
Considérons les coordonnées des vecteurs dans une base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ :
Déterminez les coordonnées des vecteurs opposés des vecteurs de l'exercice précédent.
  1. $-\overrightarrow{u}_1\begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}$
  2. $-\overrightarrow{u}_2\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}$
  3. $-\overrightarrow{u}_3\begin{pmatrix}5\\-7\end{pmatrix}$
  4. $-\overrightarrow{u}_4\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$
Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées dans une base donnée.

Somme

Soit $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ une base de vecteurs et $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs tels que : $$\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$$ alors la somme $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}x+x'\\y+y'\end{pmatrix}$.
On a donc : $$\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}x+x'\\y+y'\end{pmatrix}$$
Déterminez les coordonnées des vecteurs suivants construits à partir des vecteurs de l'exercice 1 :
  1. $\overrightarrow{w}_1=\overrightarrow{u}_1+\overrightarrow{u}_2$
  2. $\overrightarrow{w}_2=\overrightarrow{u}_3+\overrightarrow{u}_4$
  3. $\overrightarrow{w}_3=\overrightarrow{u}_1+\overrightarrow{u}_3$
  4. $\overrightarrow{w}_4=\overrightarrow{u}_2+\overrightarrow{u}_4$
  1. $$\begin{align*} \overrightarrow{w}_1&=\overrightarrow{u}_1+\overrightarrow{u}_2\\ \overrightarrow{w}_1&=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_1&=\begin{pmatrix}1+2\\3+(-4)\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_1&=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix} \end{align*}$$
  2. $$\begin{align*} \overrightarrow{w}_2&=\overrightarrow{u}_3+\overrightarrow{u}_4\\ \overrightarrow{w}_2&=\begin{pmatrix}-5\\7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_2&=\begin{pmatrix}-5+(-3)\\7+(-2)\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_2&=\begin{pmatrix}-8\\5\end{pmatrix} \end{align*}$$
  3. $$\begin{align*} \overrightarrow{w}_3&=\overrightarrow{u}_1+\overrightarrow{u}_3\\ \overrightarrow{w}_3&=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-5\\7\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_3&=\begin{pmatrix}1+(-5)\\3+7\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_3&=\begin{pmatrix}-4\\10\end{pmatrix} \end{align*}$$
  4. $$\begin{align*} \overrightarrow{w}_4&=\overrightarrow{u}_2+\overrightarrow{u}_4\\ \overrightarrow{w}_4&=\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_4&=\begin{pmatrix}2+(-3)\\-4+(-2)\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_4&=\begin{pmatrix}-1\\-6\end{pmatrix} \end{align*}$$

Produit par un scalaire

Soit $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ une base de vecteurs et $\overrightarrow{u}$ un vecteur tel que : $$\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$ et $\lambda$ un réel, alors le produit $\lambda\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}\lambda x\\\lambda y\end{pmatrix}$.
On a donc : $$\lambda\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}\lambda x\\\lambda y\end{pmatrix}$$
Déterminez les coordonnées des vecteurs suivants construits à partir des vecteurs de l'exercice 1 :
  1. $\overrightarrow{v}_1=2\overrightarrow{u}_1$
  2. $\overrightarrow{v}_2=-3\overrightarrow{u}_2$
  3. $\overrightarrow{v}_3=4\overrightarrow{u}_3$
  4. $\overrightarrow{v}_4=-\frac{1}{2}\overrightarrow{u}_4$
  1. $$\begin{align*} \overrightarrow{v}_1&=2\overrightarrow{u}_1\\ \overrightarrow{v}_1&=2\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{v}_1&=\begin{pmatrix}2\times 1\\2\times 3\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{v}_1&=\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix} \end{align*}$$
  2. $$\begin{align*} \overrightarrow{v}_2&=-3\overrightarrow{u}_2\\ \overrightarrow{v}_2&=-3\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{v}_2&=\begin{pmatrix}-3\times 2\\-3\times(-4)\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{v}_2&=\begin{pmatrix}-6\\12\end{pmatrix} \end{align*}$$
  3. $$\begin{align*} \overrightarrow{v}_3&=4\overrightarrow{u}_3\\ \overrightarrow{v}_3&=4\begin{pmatrix}-5\\7\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{v}_3&=\begin{pmatrix}4\times(-5)\\4\times 7\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{v}_3&=\begin{pmatrix}-20\\28\end{pmatrix} \end{align*}$$
  4. $$\begin{align*} \overrightarrow{v}_4&=-\frac{1}{2}\overrightarrow{u}_4\\ \overrightarrow{v}_4&=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{v}_4&=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\times(-3)\\-\frac{1}{2}\times(-2)\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{v}_4&=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\end{pmatrix} \end{align*}$$

Exercices

Déterminez les coordonnées des vecteurs suivants construits à partir des vecteurs de l'exercice 1 :
  1. $\overrightarrow{w}_1=3\overrightarrow{u}_1-\overrightarrow{u}_2$
  2. $\overrightarrow{w}_2=-2\overrightarrow{u}_3+3\overrightarrow{u}_4$
  3. $\overrightarrow{w}_3=2\overrightarrow{u}_1+3\overrightarrow{u}_3$
  4. $\overrightarrow{w}_4=-\frac{1}{2}\overrightarrow{u}_2-\frac{1}{3}\overrightarrow{u}_4$
  1. $$\begin{align*} \overrightarrow{w}_1&=3\overrightarrow{u}_1-\overrightarrow{u}_2\\ \overrightarrow{w}_1&=3\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_1&=\begin{pmatrix}3\times 1\\3\times 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_1&=\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_1&=\begin{pmatrix}3-2\\9-(-4)\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_1&=\begin{pmatrix}1\\13\end{pmatrix} \end{align*}$$
  2. $$\begin{align*} \overrightarrow{w}_2&=-2\overrightarrow{u}_3+3\overrightarrow{u}_4\\ \overrightarrow{w}_2&=-2\begin{pmatrix}-5\\7\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_2&=\begin{pmatrix}-2\times(-5)\\-2\times 7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\times(-3)\\3\times(-2)\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_2&=\begin{pmatrix}10\\-14\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-9\\-6\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_2&=\begin{pmatrix}10-9\\-14+(-6)\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_2&=\begin{pmatrix}1\\-20\end{pmatrix} \end{align*}$$
  3. $$\begin{align*} \overrightarrow{w}_3&=2\overrightarrow{u}_1+3\overrightarrow{u}_3\\ \overrightarrow{w}_3&=2\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}-5\\7\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_3&=\begin{pmatrix}2\times 1\\2\times 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\times(-5)\\3\times 7\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_3&=\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-15\\21\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_3&=\begin{pmatrix}2-15\\6+21\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_3&=\begin{pmatrix}-13\\27\end{pmatrix} \end{align*}$$
  4. $$\begin{align*} \overrightarrow{w}_4&=-\frac{1}{2}\overrightarrow{u}_2-\frac{1}{3}\overrightarrow{u}_4\\ \overrightarrow{w}_4&=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}-\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_4&=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\times 2\\-\frac{1}{2}\times(-4)\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\times 3\\-\frac{1}{3}\times(-2)\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_4&=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-\frac{2}{3}\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_4&=\begin{pmatrix}-1+1\\2-(-\frac{2}{3})\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_4&=\begin{pmatrix}0\\2+\frac{2}{3}\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}_4&=\begin{pmatrix}0\\\frac{8}{3}\end{pmatrix} \end{align*}$$

Vecteur et repérage

Coordonnées dans un repère

Un repère du plan est la donnée de trois éléments :
Soit $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ un repère du plan.
Soit $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ un repère du plan.
Un point $M$ a pour coordonnées $(x,y)$ si le vecteur $\overrightarrow{OM}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ dans la base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.
Soit $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ un repère du plan et soient $A$ et $B$ deux points de coordonnées respectives $(x_A,y_A)$ et $(x_B,y_B)$ dans ce repère.
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$.
Considérons le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ suivant :
O $\vec{\imath}$ $\vec{\jmath}$ A B C D E
Déterminez les coordonnées des points puis calculez les coordonnées des vecteurs suivants et enfin vérifiez votre réponse par lecture graphique :
  1. $\overrightarrow{AB}$
  2. $\overrightarrow{CD}$
  3. $\overrightarrow{DE}$
  4. $\overrightarrow{CB}$

Les coordonnées des points sont :

  • $A(2;3)$

  • $B(-1;1)$

  • $C(3;-2)$

  • $D(-4;4)$

  • $E(-3;-4)$

Les coordonnées des vecteurs sont :

  1. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1-2\\1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}$

  2. $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}-4-3\\4-(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\6\end{pmatrix}$

  3. $\overrightarrow{DE}\begin{pmatrix}-3-(-4)\\-4-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-8\end{pmatrix}$

  4. $\overrightarrow{CB}\begin{pmatrix}-1-3\\1-(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}$

Déterminez les coordonnées des vecteurs suivants construits à partir des points de l'exercice 6 :
  1. $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{CD}$
  2. $\overrightarrow{v}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}+3\overrightarrow{BC}$
  3. $\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{AE}+3\overrightarrow{AD}$
  4. $\overrightarrow{z}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DA}-3\overrightarrow{CA}$
  1. $$\begin{align*} \overrightarrow{u}&=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{CD}\\ \overrightarrow{u}&=2\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}-7\\6\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{u}&=\begin{pmatrix}2\times(-3)\\2\times(-2)\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\times(-7)\\3\times 6\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{u}&=\begin{pmatrix}-6\\-4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-21\\18\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{u}&=\begin{pmatrix}-6+21\\-4-18\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{u}&=\begin{pmatrix}15\\-22\end{pmatrix} \end{align*}$$

  2. Le vecteur $\overrightarrow{BC}$ est l'opposé du vecteur $\overrightarrow{CB}$ donc :

    $$\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}$$ $$\begin{align*} \overrightarrow{v}&=-\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}+3\overrightarrow{BC}\\ \overrightarrow{v}&=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\-8\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{v}&=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\times 1\\-\frac{1}{2}\times(-8)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\times 4\\3\times(-3)\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{v}&=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}12\\-9\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{v}&=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}+12\\4+(-9)\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{v}&=\begin{pmatrix}\num{11.5}\\-5\end{pmatrix} \end{align*}$$

  3. Calculons les coordonnées de $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AD}$ :

    $$\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}-3-2\\-4-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-7\end{pmatrix}$$ $$\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}-4-2\\4-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\1\end{pmatrix}$$ $$\begin{align*} \overrightarrow{w}&=2\overrightarrow{AE}+3\overrightarrow{AD}\\ \overrightarrow{w}&=2\begin{pmatrix}-5\\-7\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}-6\\1\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}&=\begin{pmatrix}-10\\-14\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-18\\3\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{w}&=\begin{pmatrix}-28\\-11\end{pmatrix} \end{align*}$$

  4. Calculons les coordonnées de $\overrightarrow{DA}$ et $\overrightarrow{CA}$ :

    $$DA\begin{pmatrix}2-(-4)\\3-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-1\end{pmatrix}$$ $$CA\begin{pmatrix}3-3\\-2-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-6\end{pmatrix}$$ $$\begin{align*} \overrightarrow{z}&=\frac{2}{3}\overrightarrow{DA}-3\overrightarrow{CA}\\ \overrightarrow{z}&=\frac{2}{3}\begin{pmatrix}6\\-1\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}0\\-6\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{z}&=\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\times 6\\\frac{2}{3}\times(-1)\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\times 0\\3\times(-6)\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{z}&=\begin{pmatrix}4\\-\frac{2}{3}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\-18\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{z}&=\begin{pmatrix}4\\-\frac{56}{3}\end{pmatrix} \end{align*}$$

Norme d'un vecteur

Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ dans une base orthonormale $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.
La norme du vecteur $\overrightarrow{u}$ est le réel positif noté $\|\overrightarrow{u}\|$ défini par : $$\|\overrightarrow{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$$ Cela correspond à la longueur du vecteur, c'est donc un nombre positif.
Calculez la norme des vecteurs suivants :
  1. $\overrightarrow{u}_1\begin{pmatrix}6\\8\end{pmatrix}$
  2. $\overrightarrow{u}_2\begin{pmatrix}-5\\12\end{pmatrix}$
  3. $\overrightarrow{u}_3\begin{pmatrix}-7\\-24\end{pmatrix}$
  4. $\overrightarrow{u}_4\begin{pmatrix}8\\-15\end{pmatrix}$
  1. $\|\overrightarrow{u}_1\|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
  2. $\|\overrightarrow{u}_2\|=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
  3. $\|\overrightarrow{u}_3\|=\sqrt{(-7)^2+(-24)^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$
  4. $\|\overrightarrow{u}_4\|=\sqrt{8^2+(-15)^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$
Parmi les vecteurs suivants lesquels ont la même norme ?
  1. $\overrightarrow{u}_1\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}$
  2. $\overrightarrow{u}_2\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}$
  3. $\overrightarrow{u}_3\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}$
  4. $\overrightarrow{u}_4\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$
  1. $\|\overrightarrow{u}_1\|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
  2. $\|\overrightarrow{u}_2\|=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$
  3. $\|\overrightarrow{u}_3\|=\sqrt{5^2+0^2}=\sqrt{25+0}=\sqrt{25}=5$
  4. $\|\overrightarrow{u}_4\|=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$
Les vecteurs $\overrightarrow{u}_1$ et $\overrightarrow{u}_3$ ont la même norme.
Calculez les normes des vecteurs de l'exercice 6.
  1. $\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(-3)^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$
  2. $\|\overrightarrow{CD}\|=\sqrt{(-7)^2+6^2}=\sqrt{49+36}=\sqrt{85}$
  3. $\|\overrightarrow{DE}\|=\sqrt{1^2+(-8)^2}=\sqrt{1+64}=\sqrt{65}$
  4. $\|\overrightarrow{CB}\|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
Dans chaque cas déterminez la norme du vecteur $\vec{u}.$ Toutes les coordonnées sont exprimées dans une base orthonormale $(\vec{i},\vec{j})$.
  1. $\vec{u}\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$
  2. $\vec{u}\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$
  3. $\vec{u}=3\vec{i}-4\vec{j}$
  4. $\vec{u}=\vec{i}+\vec{j}$
  1. $\vec{u}=\vec{a}-\vec{b}$ si $\vec{a}\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$ et $\vec{b}\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$
  2. $\vec{u}=-6\vec{a}$ si $\vec{a}\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$
  3. $u=-3\vec{a}+4\vec{b}$ si $\vec{a}\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$ et $\vec{b}\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$
  1. $$ \begin{align*} \|\vec{u}\|&=\sqrt{3^2+4^2}\\ \|\vec{u}\|&=\sqrt{9+16}\\ \|\vec{u}\|&=\sqrt{25}\\ \|\vec{u}\|&=5 \end{align*} $$
  2. $$ \begin{align*} \|\vec{u}\|&=\sqrt{(-2)^2+2^2}\\ \|\vec{u}\|&=\sqrt{4+4}\\ \|\vec{u}\|&=\sqrt{8}\\ \|\vec{u}\|&=2\sqrt{2} \end{align*} $$
  3. $$ \begin{align*} \|\vec{u}\|&=\sqrt{3^2+(-4)^2}\\ \|\vec{u}\|&=\sqrt{9+16}\\ \|\vec{u}\|&=\sqrt{25}\\ \|\vec{u}\|&=5 \end{align*} $$
  4. $$ \begin{align*} \|\vec{u}\|&=\sqrt{1^2+1^2}\\ \|\vec{u}\|&=\sqrt{1+1}\\ \|\vec{u}\|&=\sqrt{2} \end{align*} $$
  5. $$ \begin{align*} \vec{a}-\vec{b}&\left(\begin{matrix}1-5\\2-(-1)\end{matrix}\right)\\ \vec{a}-\vec{b}&\left(\begin{matrix}-4\\2+1\end{matrix}\right)\\ \vec{a}-\vec{b}&\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right) \end{align*} $$

    D'où

    $$ \begin{align*} \|\vec{u}\|&=\sqrt{(-4)^2+3^2}\\ \|\vec{u}\|&=\sqrt{16+9}\\ \|\vec{u}\|&=\sqrt{25}\\ \|\vec{u}\|&=5 \end{align*} $$
  6. $$ \begin{align*} \|\vec{a}\|&=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}\\ \|\vec{a}\|&=\sqrt{9+16}\\ \|\vec{a}\|&=\sqrt{25}\\ \|\vec{a}\|&=5 \end{align*} $$

    D'où

    $$ \begin{align*} \|\vec{u}\|&=\|-6\vec{a}\|\\ \|\vec{u}\|&=|-6|\times\|\vec{a}\|\\ \|\vec{u}\|&=6\times \|\vec{a}\|\\ \|\vec{u}\|&=6\times 5\\ \|\vec{u}\|&=30 \end{align*} $$
  7. $$ \begin{align*} -3\vec{a}+4\vec{b}&\left(\begin{matrix}-3\times 1+4\times(-1)\\-3\times 2+4\times 3\end{matrix}\right)\\ -3\vec{a}+4\vec{b}&\left(\begin{matrix}-3-4\\-6+12\end{matrix}\right)\\ -3\vec{a}+4\vec{b}&\left(\begin{matrix}-7\\6\end{matrix}\right) \end{align*} $$

    D'où

    $$ \begin{align*} \|\vec{u}\|&=\sqrt{(-7)^2+6^2}\\ \|\vec{u}\|&=\sqrt{49+36}\\ \|\vec{u}\|&=\sqrt{85} \end{align*} $$

Distance entre points

Soit $A$ et $B$ deux points de coordonnées respectives $(x_A,y_A)$ et $(x_B,y_B)$ dans un repère orthonormé.
La distance entre les points $A$ et $B$ est le réel positif noté $AB$ défini par : $$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$ Cela correspond à la longueur du segment $[AB]$, c'est donc un nombre positif.
La distance entre deux points $A$ et $B$ est la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$. $$AB=\|\overrightarrow{AB}\|$$
Dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, on considère les points suivants :
  • $A(8;5)$
  • $B(-3;2)$
  • $C(4;-1)$
  • $D(-2;7)$
Calculez les distances suivantes :
  1. $AB$
  2. $CD$
  3. $AC$
  4. $BD$
  1. $$\begin{align*} AB&=\sqrt{(-3-8)^2+(2-5)^2}\\ AB&=\sqrt{(-11)^2+(-3)^2}\\ AB&=\sqrt{121+9}\\ AB&=\sqrt{130} \end{align*}$$
  2. $$\begin{align*} CD&=\sqrt{(-2-4)^2+(7-(-1))^2}\\ CD&=\sqrt{(-6)^2+(8)^2}\\ CD&=\sqrt{36+64}\\ CD&=\sqrt{100}\\ CD&=10 \end{align*}$$
  3. $$\begin{align*} AC&=\sqrt{(4-8)^2+(-1-5)^2}\\ AC&=\sqrt{(-4)^2+(-6)^2}\\ AC&=\sqrt{16+36}\\ AC&=\sqrt{52} \end{align*}$$
  4. $$\begin{align*} BD&=\sqrt{(-2+3)^2+(7-2)^2}\\ BD&=\sqrt{1^2+5^2}\\ BD&=\sqrt{1+25}\\ BD&=\sqrt{26} \end{align*}$$
On considère les points $A(5~;~7)$, $B(3~;~7)$, $C(-6~;~-2)$, $D(-6~;~3)$, $E(-1~;~2)$, $F(3~;~1)$, $G(2~;~5)$, $H(-4~;~1)$, $I(4~;~-2)$, $J(-2~;~5)$, $K(-1~;~1)$, $L(1~;~-2)$ et $M(5~;~5)$.
  1. Calculer $AB$.
  2. Calculer $CD$.
  3. Montrer que $EFG$ est isocèle.
  4. Montrer que $HIJ$ n'est pas rectangle.
  5. Montrer que $KLM$ est rectangle.
  6. Calculer le périmètre de $ABC$.
O \vec{i} \vec{j}
  1. $$ \begin{align*} AB&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\ AB&=\sqrt{(3-5)^2+(7-7)^2}\\ AB&=\sqrt{(-2)^2+0^2}\\ AB&=\sqrt{4}\\ AB&=2 \end{align*} $$
  2. $$ \begin{align*} CD&=\sqrt{(x_D-x_C)^2+(y_D-y_C)^2}\\ CD&=\sqrt{(-6-(-6))^2+(3-(-2))^2}\\ CD&=\sqrt{0^2+5^2}\\ CD&=\sqrt{25}\\ CD&=5 \end{align*} $$
  3. $$ \begin{align*} EF&=\sqrt{(x_F-x_E)^2+(y_F-y_E)^2}\\ EF&=\sqrt{(3-(-1))^2+(1-2)^2}\\ EF&=\sqrt{4^2+(-1)^2}\\ EF&=\sqrt{16+1}\\ EF&=\sqrt{17}\\ FG&=\sqrt{(x_G-x_F)^2+(y_G-y_F)^2}\\ FG&=\sqrt{(2-3)^2+(5-1)^2}\\ FG&=\sqrt{(-1)^2+4^2}\\ FG&=\sqrt{1+16}\\ FG&=\sqrt{17} \end{align*} $$

    $EF=FG$ donc le triangle $EFG$ est isocèle en $F$.

  4. $$ \begin{align*} HI&=\sqrt{(x_I-x_H)^2+(y_I-y_H)^2}\\ HI&=\sqrt{(4-(-4))^2+(-2-1)^2}\\ HI&=\sqrt{8^2+(-3)^2}\\ HI&=\sqrt{64+9}\\ HI&=\sqrt{73}\\ HJ&=\sqrt{(x_J-x_H)^2+(y_J-y_H)^2}\\ HJ&=\sqrt{(-2-(-4))^2+(5-1)^2}\\ HJ&=\sqrt{(-2+4)^2+4^2}\\ HJ&=\sqrt{2^2+16}\\ HJ&=\sqrt{4+16}\\ HJ&=\sqrt{20}\\ IJ&=\sqrt{(x_J-x_I)^2+(y_J-y_I)^2}\\ IJ&=\sqrt{(-2-4)^2+(5-(-2))^2}\\ IJ&=\sqrt{(-6)^2+7^2}\\ IJ&=\sqrt{36+49}\\ IJ&=\sqrt{85} \end{align*} $$

    $HI^2+HJ^2=73+20=93\neq 85=IJ^2$ donc le triangle $HIJ$ n'est pas rectangle.

  5. $$ \begin{align*} KL&=\sqrt{(x_L-x_K)^2+(y_L-y_K)^2}\\ KL&=\sqrt{(1-(-1))^2+(-2-1)^2}\\ KL&=\sqrt{2^2+(-3)^2}\\ KL&=\sqrt{4+9}\\ KL&=\sqrt{13}\\ KM&=\sqrt{(x_M-x_K)^2+(y_M-y_K)^2}\\ KM&=\sqrt{(5-(-1))^2+(5-1)^2}\\ KM&=\sqrt{6^2+4^2}\\ KM&=\sqrt{36+16}\\ KM&=\sqrt{52}\\ LM&=\sqrt{(x_M-x_L)^2+(y_M-y_L)^2}\\ LM&=\sqrt{(5-1)^2+(5-(-2))^2}\\ LM&=\sqrt{4^2+7^2}\\ LM&=\sqrt{16+49}\\ LM&=\sqrt{65} \end{align*} $$

    $KL^2+KM^2=13+52=65=LM^2$ donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $KLM$ est rectangle en $L$.

  6. $$ \begin{align*} AB&=\sqrt{(3-5)^2+(7-7)^2}\\ AB&=\sqrt{(-2)^2+0^2}\\ AB&=\sqrt{4}\\ AB&=2\\ BC&=\sqrt{(-6-3)^2+(-2-7)^2}\\ BC&=\sqrt{(-9)^2+(-9)^2}\\ BC&=\sqrt{81+81}\\ BC&=\sqrt{162}\\ BC&=9\sqrt{2}\\ CA&=\sqrt{(-6-5)^2+(-2-7)^2}\\ CA&=\sqrt{(-11)^2+(-9)^2}\\ CA&=\sqrt{121+81}\\ CA&=\sqrt{202} \end{align*} $$

    Le périmètre de $ABC$ est $2+9\sqrt{2}+\sqrt{202}.$

Milieu d'un segment

Soit $A$ et $B$ deux points de coordonnées respectives $(x_A,y_A)$ et $(x_B,y_B)$ dans un repère orthonormé.
Le milieu du segment $[AB]$ est le point $I$ de coordonnées $(x_I,y_I)$ définies par : $$x_I=\frac{x_A+x_B}{2}\quad\text{et}\quad y_I=\frac{y_A+y_B}{2}$$
Calculez les coordonnées des milieux des segments suivants construits à partir des points de l'exercice 6 :
  1. Le milieu $I$ de $[AB]$
  2. Le milieu $J$ de $[CD]$
  3. Le milieu $K$ de $[DE]$
  4. Le milieu $L$ de $[CB]$
  1. $$\begin{align*} x_I&=\frac{8+(-3)}{2}=\frac{5}{2}=\num{2.5}\\ y_I&=\frac{5+2}{2}=\frac{7}{2}=\num{3.5} \end{align*}$$
  2. $$\begin{align*} x_J&=\frac{4+(-2)}{2}=\frac{2}{2}=1\\ y_J&=\frac{-1+7}{2}=\frac{6}{2}=3 \end{align*}$$
  3. $$\begin{align*} x_K&=\frac{-3+(-4)}{2}=\frac{-7}{2}=-\num{3.5}\\ y_K&=\frac{-4+4}{2}=\frac{0}{2}=0 \end{align*}$$
  4. $$\begin{align*} x_L&=\frac{4+(-3)}{2}=\frac{1}{2}=\num{0.5}\\ y_L&=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1 \end{align*}$$
On considère les points \(A(3~;~2)\), \(B(-4~;~4)\), \(C(-2~;~-1)\) et \(D(1~;~-3)\) et les points \(I\), \(J\), \(K\) et \(L\), milieux respectifs des segments \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\) et \([AD]\). Montrez que le quadrilatère \(IJKL\) est un parallélogramme.
  1. $$\begin{align*} I&\left(\frac{x_A+x_B}{2}~;~\frac{y_A+y_B}{2}\right)\\ I&\left(\frac{3+(-4)}{2}~;~\frac{2+4}{2}\right)\\ I&\left(\frac{-1}{2}~;~\frac{6}{2}\right)\\ I&\left(-\frac{1}{2}~;~3\right) \end{align*}$$ $$\begin{align*} J&\left(\frac{x_B+x_C}{2}~;~\frac{y_B+y_C}{2}\right)\\ J&\left(\frac{-4+(-2)}{2}~;~\frac{4+(-1)}{2}\right)\\ J&\left(\frac{-6}{2}~;~\frac{3}{2}\right)\\ J&\left(-3~;~\frac{3}{2}\right) \end{align*}$$ $$\begin{align*} K&\left(\frac{x_C+x_D}{2}~;~\frac{y_C+y_D}{2}\right)\\ K&\left(\frac{-2+1}{2}~;~\frac{-1+(-3)}{2}\right)\\ K&\left(-\frac{1}{2}~;~\frac{-4}{2}\right)\\ K&\left(-\frac{1}{2}~;~-2\right) \end{align*}$$ $$\begin{align*} L&\left(\frac{x_D+x_A}{2}~;~\frac{y_D+y_A}{2}\right)\\ L&\left(\frac{1+3}{2}~;~\frac{-3+2}{2}\right)\\ L&\left(\frac{4}{2}~;~\frac{-1}{2}\right)\\ L&\left(2~;~-\frac{1}{2}\right) \end{align*}$$

  2. Les vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{LK}\) sont calculés comme suit :

    $$\begin{align*} \overrightarrow{IJ}&=\left(x_J-x_I~;~y_J-y_I\right)\\ &=\left(-3+\frac{1}{2}~;~\frac{3}{2}-3\right)\\ &=\left(-\frac{5}{2}~;~-\frac{3}{2}\right)\\ \overrightarrow{LK}&=\left(x_K-x_L~;~y_K-y_L\right)\\ &=\left(-\frac{1}{2}-2~;~-2+\frac{1}{2}\right)\\ &=\left(-\frac{5}{2}~;~-\frac{3}{2}\right) \end{align*}$$

  3. Puisque \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{LK}\) ont les mêmes coordonnées, cela indique que \(IJKL\) est un parallélogramme.