Manipuler les vecteurs
Seconde Générale et Technologique
E-02
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
I J B C
$IJBC$ est un losange. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifiez.
  1. $IJ=IC$
  2. $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IC}$
  3. $IJ=CB$
  4. $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{CB}$
Soit $A$ un point du plan. Le vecteur nul, noté $\overrightarrow{0}$, est le vecteur qui a pour origine et pour extrémité le point $A$. On a donc $\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$.
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan. On a : $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$ Cette relation est appelée la relation de Chasles.
Deux vecteurs sont dits opposés si leur somme est le vecteur nul. Autrement dit, deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont opposés si et seulement si $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$.
Soient $A$ et $B$ deux points du plan. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ sont opposés. En effet, on a $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}$.
Réduire les sommes vectorielles suivantes quand c'est possible :
  1. $\overrightarrow{IP}+\overrightarrow{RI}$
  2. $\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{TI}$
  3. $\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{IE}$
  4. $\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GF}$
  5. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AM}$
  6. $\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{AJ}$
  7. $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}$
  8. $\overrightarrow{IE}-\overrightarrow{IE}$
  9. $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BA}$
  1. $-\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{ED}$
  2. $\overrightarrow{ET}+\overrightarrow{FI}+\overrightarrow{IE}$
$ABCD$ est un parallélogramme. Montrez que $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.
Montrez que si $\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{EG}$, alors $EFGH$ est un parallélogramme.
$ABC$ est un triangle quelconque et $I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC]$.
A B C I J
  1. Montrez que $\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{IA}$.
  2. Montrez que $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AJ}$.
  3. En déduire que $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{IJ}$.
  4. QUe peut-on en déduire sur $(IJ)$ et $(BC)$ ? sur $IJ$ et $BC$ ?
  5. Soit $K$ le milieu de $[BC]$. Montrez que $IJKB$ est un parallelogramme.
$ABCD$ est un quadrilatère. $I$, $J$, $K$ et $L$ sont les milieux respectifs des côtés $[AB],$ $[BC],$ $[CD]$ et $[DA].$ Montrez que $IJKL$ est un parallélogramme.
A B C D I J K L
$k$ est un réel non nul. $O$, $A$, $B$, $M$ et $N$ sont des points du plan tels que $\overrightarrow{OM}=k\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{ON}=k\overrightarrow{OB}$.
  1. Montrez que $\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{AB}$.
  2. Que peut-on dire si $k=1$ ? $k=2$ ? $k=-1$ ?