Probabilités conditionnelles
Première Spécialité mathématiques
I-01
Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$. L'événement $A$ et $B$ est l'événement qui se réalise si $A$ et $B$ se réalisent simultanément. On le note $$A \cap B$$ et on prononce "A et B" ou "A inter B".
$A\cap B$ $A$ $B$ $\Omega$
L'événement $A$ ou $B$ est l'événement qui se réalise si $A$ se réalise ou si $B$ se réalise ou si $A$ et $B$ se réalisent simultanément. On le note $$A \cup B$$ et on prononce "A ou B" ou "A union B".
$A\cup B$ $A$ $B$ $\Omega$
Soit $P$ une probabilité sur un univers $\Omega$ et soient $A$ et $B$ deux événements de $\Omega$ tels que $P(B) \gt 0$.
On note $P_B(A)$ la probabilité conditionnelle de l'événement $A$ sachant que l'événement $B$ est réalisé.
On la prononce "probabilité de $A$ sachant $B$". $$\overset{\text{probabilité de}}{P_{\underset{\text{sachant}}{B}}(A)}$$
On lance un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$.
  • $A$ : "le résultat est un nombre pair" ;
  • $B$ : "le résultat est un nombre premier" ;
  • $C$ : "le résultat est un nombre inférieur ou égal à $4$".
Calculez les probabilités de événements suivants :
  1. Le résultat soit un nombre pair et premier.
  2. Le résultat soit un nombre pair ou premier.
  3. Le résultat soit un nombre pair et inférieur ou égal à $4$.
  4. Le résultat soit un nombre pair ou inférieur ou égal à $4$.
Calculez les probabilités suivantes :
  1. Probabilité que le résultat soit pair sachant qu'il est premier.
  2. Probabilité que le résultat soit premier sachant qu'il est pair.
  3. Probabilité que le résultat soit premier sachant qu'il est inférieur ou égal à $4$.
  4. Probabilité que le résultat soit inférieur ou égal à $4$ sachant qu'il est premier.
  5. Probvabilité que le résultat soit impair sachant qu'il est premier.
  6. Probabilité que le résultat soit pair sachant qu'il n'est pas premier.
  7. Probabilité que le résultat soit premier sachant qu'il est plus grand que $4$.
  8. Probabilité que le résultat soit inférieur ou égal à $4$ sachant qu'il n'est pas premier.
  1. Vérifiez que $P_B(A)+P_B(\overline{A})=1$. Y a-t-il d'autres résultats de ce type ? Justifiez.
  2. Que vaut $P_B(C)+P_{\overline{B}}(C)$ ?
  3. Vérifiez que $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$. Y a-t-il d'autres résultats de ce type ? Justifiez.
$A$ et $B$ désignent deux événements d'un même univers.
$A\cap \overline{B}$ $A\cap B$ $\overline{A}\cap B$ $\overline{A}\cap \overline{B}$ $A$ $B$ $\Omega$
$\bold{B}$ $\bold{\overline{B}}$ Total
$\bold{A}$ $\footnotesize{P(A\cap B)}$ $\footnotesize{P(A\cap \overline{B})}$ $\footnotesize{P(A)}$
$\bold{\overline{A}}$ $\footnotesize{P(\overline{A}\cap B)}$ $\footnotesize{P(\overline{A}\cap \overline{B})}$ $\footnotesize{P(\overline{A})}$
Total $\footnotesize{P(B)}$ $\footnotesize{P(\overline{B})}$ $1$
Un arbre des possibles représente toutes les issues d'une expérience aléatoire. Un arbre pondéré est un arbre des possibles où chaque branche est associée à une probabilité.
$p(A)$ $p(B)$ $p_A(C)$ $p_A(D)$ $p_B(C)$ $p_B(D)$ $A$ $B$ $C$ $D$ $C$ $D$
On considère une société où :
  • $\SI{70}{\%}$ des employés sont des commerciaux ;
  • $\SI{80}{\%}$ des commerciaux ont une voiture de fonction ;
  • $\SI{10}{\%}$ des non commerciaux ont une voiture de fonction.
On interroge au hasard un employé.