Dérivation
Première Spécialité mathématiques
C-03
Dans chaque cas, on considère la représentation graphique d'une fonction $f$. Donnez dans un même tableau, le tableau de signe de la dérivée de $f$ et le tableau de variation de $f$.
  1. O 1 10
  2. O 1 10
  1. $x$ $-4$ $-1$ $2$ $4{,}5$
    $f'(x)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$
    $20$ $35$
    $f$
    $-5$ $10$
  2. $x$ $-4$ $-2$ $1$ $4{,}5$
    $f'(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
    $35$ $10$
    $f$
    $20$ $-5$
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ :
  • Si $f'$ est positive sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$.
  • Si $f'$ est négative sur $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -3x^2 + 3x - 1$.

  1. Calculer $f'(x)$.
  2. Étudier le signe de $f'(x)$.
  3. En déduire les variations de $f$.
  4. Déterminez l'extremum de $f$.
  1. $$f'(x) = -6x + 3$$
  2. $$ \begin{align*} -6x + 3 & \geqslant 0 \\ -6x & \geqslant -3 \\ x & \leqslant \frac{1}{2} \end{align*} $$
    $x$ $-\infty$ $\frac{1}{2}$ $+\infty$
    $f'(x)$ $+$ $0$ $-$

  3. $f$ est croissante sur $]-\infty; \frac{1}{2}]$.

    $f$ est décroissante sur $[\frac{1}{2}; +\infty[$.

  4. $$ \begin{align*} f\left(\frac{1}{2}\right) & = -3\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{2}\right) - 1 \\ f\left(\frac{1}{2}\right) & = -\frac{3}{4} + \frac{3}{2} - 1 \\ f\left(\frac{1}{2}\right) & = -\frac{3}{4} + \frac{6}{4} - \frac{4}{4} \\ f\left(\frac{1}{2}\right) & = \frac{-3 + 6 - 4}{4} \\ f\left(\frac{1}{2}\right) & = -\frac{1}{4} \end{align*} $$
    $x$ $-\infty$ $\frac{1}{2}$ $+\infty$
    $f'(x)$ $+$ $0$ $-$
    $-\frac{1}{4}$
    $f(x)$
    $-\infty$ $-\infty$

  5. $f$ admet un minimum en $\frac{1}{2}$

    La valeur de ce minimum est $-\frac{1}{4}$

Reprendre l'exercice précédent pour les fonctions suivantes :
  1. $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$
  2. $f(x) = -x^2 + 2x - 3$
    1. $$f'(x) = 4x - 3$$
    2. $$ \begin{align*} 4x - 3 & \geqslant 0 \\ 4x & \geqslant 3 \\ x & \geqslant \frac{3}{4} \end{align*} $$
      $x$ $-\infty$ $\frac{3}{4}$ $+\infty$
      $f'(x)$ $-$ $0$ $+$

    3. $f$ est décroissante sur $]-\infty; \frac{3}{4}]$.

      $f$ est croissante sur $[\frac{3}{4}; +\infty[$.

    4. $$ \begin{align*} f\left(\frac{3}{4}\right) & = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{4}\right) + 1 \\ f\left(\frac{3}{4}\right) & = 2\left(\frac{9}{16}\right) - 3\left(\frac{3}{4}\right) + 1 \\ f\left(\frac{3}{4}\right) & = \frac{18}{16} - \frac{9}{4} + 1 \\ f\left(\frac{3}{4}\right) & = \frac{18 - 36 + 16}{16} \\ f\left(\frac{3}{4}\right) & = -\frac{2}{16} \\ f\left(\frac{3}{4}\right) & = -\frac{1}{8} \end{align*} $$
      $x$ $-\infty$ $\frac{3}{4}$ $+\infty$
      $f'(x)$ $-$ $0$ $+$
      $+\infty$ $+\infty$
      $f(x)$
      $-\frac{1}{8}$

    5. $f$ admet un maximum en $\frac{3}{4}$

      La valeur de ce maximum est $-\frac{1}{8}$

    1. $$f'(x) = -2x + 2$$
    2. $$ \begin{align*} -2x + 2 & \geqslant 0 \\ -2x & \geqslant -2 \\ x & \leqslant 1 \end{align*} $$
      $x$ $-\infty$ $1$ $+\infty$
      $f'(x)$ $+$ $0$ $-$

    3. $f$ est croissante sur $]-\infty; 1]$.

      $f$ est décroissante sur $[1; +\infty[$.

    4. $$ \begin{align*} f(1) & = -1^2 + 2 \times 1 - 3 \\ f(1) & = -1 + 2 - 3 \\ f(1) & = -1 + 2 - 3 \\ f(1) & = -2 \end{align*} $$
      $x$ $-\infty$ $1$ $+\infty$
      $f'(x)$ $+$ $0$ $-$
      $-2$
      $f(x)$
      $-\infty$ $-\infty$

    5. $f$ admet un minimum en $1$

      La valeur de ce minimum est $-2$

Extremum local

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ : dire que $f$ admet un maximum local (resp. un minimum local) en $c \in I$ signifie que $f(c)$ est le maximum (resp. le minimum) de $f$ sur un intervalle  $]a;b[\subset I$ contenant $c$.
c_1 f(c_1) c_2 f(c_2) Maximum local Minimum local a_1 b_1 a_2 b_2
Dire que $f$ admet un extremum local en $c$ signifie que $f$ admet un maximum ou un minimum local en $c$.
On considère la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $[-5;5]$ et dérivable sur l'intervalle $]-5;5[$.
O 1 10
  1. Par lecture graphique, indiquez le ou les valeurs où la fonction admet un extremum local, déterminez la nature de cet extremum et donnez la valeur de cet extremum.
  2. Quel est le maximum de la fonction sur l'intervalle $[-5;5]$ ?
  3. Quel est le minimum de la fonction sur ce même intervalle ?
      • La fonction admet un minimum local en $-4$.
      • La valeur de ce minimum est $34$.
      • La fonction admet un maximum local en $-3$.
      • La valeur de ce maximum est $35$.
      • La fonction admet un minimum local en $-2$.
      • La valeur de ce minimum est $10$.
      • La fonction admet un maximum local en $1$.
      • La valeur de ce maximum est $25$.
      • La fonction admet un minimum local en $3$.
      • La valeur de ce minimum est $5$.
      • La fonction admet un maximum local en $4$.
      • La valeur de ce maximum est $15$.
  2. Le maximum de la fonction est $40$ pris en $-5$
  3. Le minimum de la fonction est $5$ pris en $3$.
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I=]a;b[$ et $c\in I$.
Si $f$ admet un extremum local en $c$, alors $f'(c) = 0$.
Déduire de l'exercice précédent des valeurs où la fonction admet une dérivée nulle.

La fonction $f$ admet des extremums locaux en $-4$, $-3$, $-2$, $1$, $3$ et $4$.

La dérivée de la fonction est donc nulle en ces valeurs.

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I=]a;b[$ et $c\in I$.
  • Si $f'(c) = 0$
  • et si $f'$ change de signe en $c$,
alors $f$ admet un extremum local en $c$.
Étudiez les variations des fonctions suivantes sur l'intervalle $[-10;10]$ en calculant la dérivée. En déduire les extremums locaux :
  1. $f:x\longmapsto x^2$
  2. $f:x\longmapsto x^3$
    1. $$f'(x) = 2x$$
    2. $$ \begin{align*} 2x & \geqslant 0 \\ x & \geqslant 0 \end{align*} $$
      $x$ $-10$ $0$ $10$
      $f'(x)$ $-$ $0$ $+$

    3. $f$ est décroissante sur $]-10; 0]$.

      $f$ est croissante sur $[0; 10[$.

    4. $$ \begin{align*} f(0) & = 0^2 \\ f(0) & = 0 \end{align*} $$
      $x$ $-\infty$ $0$ $+\infty$
      $f'(x)$ $-$ $0$ $+$
      $100$ $100$
      $f(x)$
      $0$

    5. $f$ admet un minimum local en $0$ car sa dérivée s'annule en $0$ et change de signe en $0$.

      La valeur de ce minimum local est $0$.

    1. $$f'(x) = 3x^2$$
    2. $$ \begin{align*} 3x^2 & \geqslant 0 \\ x^2 & \geqslant 0 \end{align*} $$
      $x$ $-10$ $0$ $10$
      $f'(x)$ $+$ $0$ $+$

    3. $f$ est croissante sur $]-10; 10[$.

    4. $$ \begin{align*} f(0) & = 0^3 \\ f(0) & = 0 \end{align*} $$
      $x$ $-10$ $0$ $10$
      $f'(x)$ $+$ $0$ $+$
      $1000$
      $f(x)$ $0$
      $-1000$

    5. $f$ n'admet pas d'extremum local car même si sa dérivée s'annule en $0$, elle ne change pas de signe en $0$.

Étudiez les variations des fonctions suivantes puis déterminez les extremums locaux :
  1. $f(x) = x^3 -27x + 18$
  2. $f(x) = -x^3 + 3x^2 -9$
  3. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$
Indication : dérivez la fonction puis factorisez $f'(x)$. Utilisez le tableau de signe de $f'(x)$ pour déterminer les variations de $f$. Il y a deux valeurs où $f$ admet un extremum local.
    1. Déterminons la fonction dérivée : $$f'(x) = 3x^2 - 27$$
    2. C'est un polynôme du second degré. Déterminons ses racines :

      $f'(x)$ admet deux racines : $-3$ et $3$.

      Le coefficient $a=3$ du trinôme est positif.

      On en déduit le tableau de signe suivant :

      $x$ $-\infty$ $-3$ $3$ $+\infty$
      $f'(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$

    3. Déterminons les valeurs de la fonction en $-3$ et $3$ :

      $$ \begin{align*} f(-3) & = (-3)^3 - 27 \times (-3) + 18 \\ f(-3) & = -27 + 81 + 18 \\ f(-3) & = 72 \end{align*} $$ $$ \begin{align*} f(3) & = 3^3 - 27 \times 3 + 18 \\ f(3) & = 27 - 81 + 18 \\ f(3) & = -36 \end{align*} $$
      $x$ $-\infty$ $-3$ $3$ $+\infty$
      $f'(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
      $72$
      $f(x)$
      $-36$
Une fonction continue est de manière intuitive une fonction dont la représentation graphique peut être tracée sans lever le crayon. En admettant que les fonctions polynômes sont des fonctions continues, déterminez le nombre minimum de solutions de l'équation $f(x) = 0$ pour les fonctions de l'exercice précédent.