Introduction

Situation problème

Quiz synthèse : Vrai/Faux

Dans cette leçon $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ ; $a$ est un réel de $I$ et $h$ est un réel non nul tel que $a+h$ soit dans $I$.

Taux de variation

Le taux de variation (ou taux d'accroissement)de la fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ est le nombre :

$$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

C'est aussi la pente de la sécante à la courbe représentative de $f$ passant par les points d'abscisses $a$ et $a+h$.

Montrez que le taux de variation de la fonction carré $f: x\longmapsto x^2$ entre $a$ et $a+h$ est $2a+h$.
Calculez la pente de la sécante à la courbe représentative de $f$ passant par les points d'abscisses $2$ et $\num{2.1}$.

Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est : $$ \begin{align*} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}&=\frac{(a+h)^2-a^2}{h}&&\text{définition}\\ &=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}&&\text{développement}\\ &=\frac{2ah+h^2}{h}&&\text{réduction}\\ &=\frac{h(2a+h)}{h}&&\text{factorisation}\\ \frac{f(a+h)-f(a)}{h}&=2a+h&&\text{simplification} \end{align*} $$
La pente de la sécante à la courbe représentative de $f$ passant par les points d'abscisses $2$ et $\num{2.1}$ est aussi le taux de variation de $f$ entre $2$ et $2+\num{0.1}$ : $$\frac{f(2+\num{0.1})-f(2)}{\num{0.1}}=2\times2+\num{0.1}=4+\num{0.1}$$

Montrez que le taux de variation d'une fonction affine entre deux réels $a$ et $a+h$ est la pente de la droite représentative de cette fonction.

Soit $f$ une fonction affine de la forme $f: x\longmapsto mx+p$.

Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est : $$ \begin{align*} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}&=\frac{m(a+h)+p-(ma+p)}{h}&&\text{définition}\\ &=\frac{ma+mh+p-ma-p}{h}&&\text{développement}\\ &=\frac{mh}{h}&&\text{réduction}\\ \frac{f(a+h)-f(a)}{h}&=m&&\text{simplification} \end{align*} $$

Or la droite représentative de $f$ a pour pente $m$.

Donc le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est donc la pente de la droite représentative de $f$.

Montrez que le taux de variation de la fonction inverse $f: x\longmapsto \frac{1}{x}$ entre $a$ et $a+h$ est $-\frac{1}{a(a+h)}$.
Montrez que la pente de la sécante à la courbe représentative de $f$ passant par les points d'abscisses $2$ et $\num{2.1}$ est $-\frac{5}{21}$.

Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est : $$ \begin{align*} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}&=\frac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}&&\text{définition}\\ &=\left(\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}\right)\times\frac{1}{h}&&\text{multiplier par l'inverse}\\ &=\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}\times\frac{1}{h}&&\text{réduction au même dénominateur}\\ &=\frac{a-a-h}{a(a+h)}\times\frac{1}{h}&&\text{développement}\\ &=\frac{-h}{a(a+h)}\times\frac{1}{h}&&\text{réduction}\\ &=-\frac{h}{a(a+h)h}\\ \frac{f(a+h)-f(a)}{h}&=-\frac{1}{a(a+h)}&&\text{simplification} \end{align*} $$
La pente de la sécante à la courbe représentative de $f$ passant par les points d'abscisses $2$ et $\num{2.1}$ est aussi le taux de variation de $f$ entre $2$ et $2+\num{0.1}$ : $$ \begin{align*} \frac{f(2+\num{0.1})-f(2)}{\num{0.1}}&=-\frac{1}{2\times2.1}\\ &=-\frac{1}{4.2}\\ &=-\frac{10}{42}\\ \frac{f(2+\num{0.1})-f(2)}{\num{0.1}}&=-\frac{5}{21} \end{align*} $$

Montrez que le taux de variation de la fonction racine carrée $f: x\longmapsto \sqrt{x}$ entre $a$ et $a+h$ est $\frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}$.
Montrez que la pente de la sécante à la courbe représentative de $f$ passant par les points d'abscisses $4$ et $9$ est $\num{0.2}$.

Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est : $$ \begin{align*} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}&=\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}\\ &=\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}\times\frac{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}\\ &=\frac{\left(\sqrt{a+h}-\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\right)}{h\left(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\right)}\\ &=\frac{a+h-a}{h\left(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\right)}\\ \end{align*} $$
La pente de la sécante à la courbe représentative de $f$ passant par les points d'abscisses $4$ et $9$ est aussi le taux de variation de $f$ entre $4$ et $4+5$ : $$ \begin{align*} \frac{f(9)-f(4)}{5}&=\frac{\sqrt{4+5}-\sqrt{4}}{5}\\ &=\frac{\sqrt{9}-\sqrt{4}}{5}\\ &=\frac{3-2}{5}\\ &=\frac{1}{5}\\ \frac{f(9)-f(4)}{5}&=\num{0.2} \end{align*} $$

Montrez que le taux de variation de la fonction cube $f: x\longmapsto x^3$ entre $a$ et $a+h$ est $3a^2+3ah+h^2$.
Indication : $(a+b)^3=(a+b)(a+b)^2$.
Montrez que la pente de la sécante à la courbe représentative de $f$ passant par les points d'abscisses $2$ et $2.1$ est $\num{12.61}$.

Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est : $$ \begin{align*} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}&=\frac{(a+h)^3-a^3}{h}\\ &=\frac{(a+h)(a+h)^2-a^3}{h}\\ &=\frac{(a+h)(a^2+2ah+h^2)-a^3}{h}\\ &=\frac{a^3+2a^2h+ah^2+ha^2+2ah^2+h^3-a^3}{h}\\ &=\frac{3a^2h+3ah^2+h^3}{h}\\ \frac{f(a+h)-f(a)}{h}&=3a^2+3ah+h^2 \end{align*} $$
La pente de la sécante à la courbe représentative de $f$ passant par les points d'abscisses $2$ et $2.1$ est aussi le taux de variation de $f$ entre $2$ et $2+\num{0.1}$ : $$ \begin{align*} \frac{f(2+\num{0.1})-f(2)}{\num{0.1}}&=3\times2^2+3\times2\times\num{0.1}+\num{0.1}^2\\ &=3\times4+6\times\num{0.1}+\num{0.01}\\ &=12+\num{0.6}+\num{0.01}\\ \frac{f(2+\num{0.1})-f(2)}{\num{0.1}}&=\num{12.61} \end{align*} $$

Nombre dérivé

On appelle nombre dérivé de $f$ en $a$ et on note $f'(a)$ le nombre :

$$f'(a)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

$\lim\limits_{h\to 0}$ signifie que l'on fait tendre $h$ vers $0$.

$f$ est la fonction carré. Vérifiez que $f'(3)=\lim\limits_{h\to 0}(6+h)$. En déduire $f'(3)$.
$f$ est la fonction cube. Vérifiez que $f'(2)=\lim\limits_{h\to 0}(12+6h+h^2)$. En déduire $f'(2)$.
$f$ est la fonction racine carrée. Vérifiez que $f'(5)=\lim\limits_{h\to 0}\left(\frac{1}{\sqrt{5+h}+\sqrt{5}}\right)$. En déduire $f'(5)$.
$f$ est la fonction inverse. Vérifiez que $f'(6)=\lim\limits_{h\to 0}\left(-\frac{1}{6(6+h)}\right)$. En déduire $f'(6)$.

$$ \begin{align*} f'(3)&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\\ f'(3)&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{(3+h)^2-3^2}{h}\\ f'(3)&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{9+6h+h^2-9}{h}\\ f'(3)&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{6h+h^2}{h}\\ f'(3)&=\lim\limits_{h\to 0}6+h\\ f'(3)&=6 \end{align*} $$
$$ \begin{align*} f'(2)&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\\ f'(2)&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{(2+h)^3-2^3}{h}\\ f'(2)&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{8+12h+6h^2+h^3-8}{h}\\ f'(2)&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{12h+6h^2+h^3}{h}\\ f'(2)&=\lim\limits_{h\to 0}12+6h+h^2\\ f'(2)&=12 \end{align*} $$
$$ \begin{align*} f'(5)&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(5+h)-f(5)}{h}\\ f'(5)&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\sqrt{5+h}-\sqrt{5}}{h}\\ f'(5)&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\sqrt{5+h}-\sqrt{5}}{h}\times\frac{\sqrt{5+h}+\sqrt{5}}{\sqrt{5+h}+\sqrt{5}}\\ f'(5)&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{5+h-5}{h(\sqrt{5+h}+\sqrt{5})}\\ f'(5)&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{h}{h(\sqrt{5+h}+\sqrt{5})}\\ f'(5)&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{5+h}+\sqrt{5}}\\ f'(5)&=\frac{1}{2\sqrt{5}} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} f'(6)&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(6+h)-f(6)}{h}\\ f'(6)&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{1}{6+h}-\frac{1}{6}}{h}\\ f'(6)&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{6-(6+h)}{6(6+h)}}{h}\\ f'(6)&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{-h}{6(6+h)h}\\ f'(6)&=\lim\limits_{h\to 0}-\frac{1}{6(6+h)}\\ f'(6)&=-\frac{1}{36} \end{align*} $$

$f'(a)$ est aussi la pente de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$.

On a tracé la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;6]$ et ses tangentes $T_1$, $T_2$, $T_3$ et $T_4$ aux points d'abscisses $0$, $2$, $3$ et $5$.

Déterminez graphiquement $f(0)$, $f(2)$, $f(3)$, $f(5)$, $f'(0)$, $f'(2)$, $f'(3)$ et $f'(5)$.

$f(0)=2$, $f(2)=1$, $f(3)=3$ et $f(5)=2$.

Les pentes des tangentes aux points d'abscisses $0$, $2$, $3$ et $5$ sont respectivement $-4$, $1$, $1.5$ et $-0.5$.

Donc $f'(0)=-4$, $f'(2)=1$, $f'(3)=1.5$ et $f'(5)=-0.5$.

$f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ telle que $f(0)=1$, $f(2)=-2$, $f(4)=-3$, $f(6)=-2$, $f'(0)=-2$, $f'(2)=-1$, $f'(4)=0$ et $f'(6)=1$.
Placez les points d'abscisses $0$, $2$, $4$ et $6$ de la courbe représentative de $f$ et ses tangentes aux mêmes points.